群集行为的数学理论
作 译 者：陈自力
出 版 日 期：2025-06-01
书 代 号：G0503530
Ｉ Ｓ Ｂ Ｎ：9787121503535
图书简介：
本书系统介绍了群集行为的数学理论，以 Cucker-Smale 模型为核心，探讨了多智能体在自然界和工程领域中的群体动态行为，如蜂拥、群集行为和一致性等现象. 全书分为两部分：第一部分聚焦 Cucker-Smale 模型的群集行为，第二部分研究其一致性. 本书从群体行为的基本概念入手，详细分析了长程和短程通信权重下的模型性质，包括速度对齐、碰撞避免以及非群集行为的一般充分条件. 此外，书中还探讨了混合 Cucker-Smale模型和时滞 Cucker-Smale 模型的动态特性，并通过数值模拟验证了理论结果的有效性. 本书既包含严格的数学推导，又结合实际应用场景，适合应用数学、运筹学与控制论专业的高年级本科生和研究生阅读. 通过本书，读者可以掌握群集行为建模与分析的核心方法，为进一步研究复杂系统动力学奠定基础.
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配 套 资 源
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图 书 内 容
内容简介
本书系统介绍了群集行为的数学理论，以 Cucker-Smale 模型为核心，探讨了多智能体在自然界和工程领域中的群体动态行为，如蜂拥、群集行为和一致性等现象. 全书分为两部分：第一部分聚焦 Cucker-Smale 模型的群集行为，第二部分研究其一致性. 本书从群体行为的基本概念入手，详细分析了长程和短程通信权重下的模型性质，包括速度对齐、碰撞避免以及非群集行为的一般充分条件. 此外，书中还探讨了混合 Cucker-Smale模型和时滞 Cucker-Smale 模型的动态特性，并通过数值模拟验证了理论结果的有效性. 本书既包含严格的数学推导，又结合实际应用场景，适合应用数学、运筹学与控制论专业的高年级本科生和研究生阅读. 通过本书，读者可以掌握群集行为建模与分析的核心方法，为进一步研究复杂系统动力学奠定基础.图书详情
ISBN：9787121503535开 本：16(170*240)页 数：168字 数：223本书目录
第 1 章 群体行为简介. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1 绪论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Cucker-Smale 模型介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 典型的群体行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 模型的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 长程通信权重下的群集行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 第 2 章 短程通信权重下的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 构造“势能”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 速度的收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.3 碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 数值模拟示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 第 3 章 Cucker-Smale 模型的非群集行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1 非群集行为的充分条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 3.2 二阶空间矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 非群集行为的一般充分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 数值模拟示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 第 4 章 混合 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 4.1 混合系统描述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 4.2 速度方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 群集行为的充分条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.1 速度方差的推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.2 定理 4.1 的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 数值模拟示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 第 5 章 时滞 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 5.1 问题描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2 碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.1 短时间间隔内的碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.2 二阶速度–空间距的不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.3 空间直径的正下界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 群集行为的充分条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 第 6 章 具有 Riesz 位势的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1 问题描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3 人工势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.4 非群集行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 第 7 章 具有幂律势的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.1 主要结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2 构造 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.3 微观能量和空间直径. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.4 弱一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.5 强一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 第 8 章 具有高次幂律势的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.1 模型介绍及基本性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.2 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.2.1 宏观 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.2.2 微观 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.3 一致性及其收敛速率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 8.3.1 弱一致 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.3.2 直径的有界性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.3.3 强一致的定理证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 第 9 章 具有拟二次势的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1 模型介绍及基本性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 9.2 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.3 一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.3.1 空间直径的估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9.3.2 Lyapunov 泛函导数的估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.3.3 弱一致性的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9.3.4 强一致性的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 第 10 章 具有幂律势与反应时滞的 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . .129 10.1 模型介绍和能量波动. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 10.2 空间直径的有界性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 10.3 高阶幂律势下的一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 第 11 章 具有非线性速度耦合和幂律势的 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . 141 11.1 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11.2 一致性与收敛速度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 11.3 有限时间内一致性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 11.4 独立于 N 的一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 11.5 数值模拟示例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 索引 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159展开前 言
本书是在南昌大学数学系 “动理学方程” 课程讲义的基础上，参考国内外一些同类教材，经过加工和补充编写而成的. 全稿由陈自力、孙吉江、尹秀霞、郭志军四位同志分工编写，经过反复讨论、多次修改完成. 由于时间仓促，更受科学水平和教学经验的限制，书中一定存在不少缺点甚至错误之处，恳请各位教师、学生提出批评和指正. 在自然界、技术领域和社会行为的广泛背景下，我们可以观察到丰富的群体行为. 例如，鸟类和鱼类利用它们的感官能力进行沟通并调整位置，形成凝聚力强的群体. 细菌或细胞等微生物的迁移遵循基本的生物化学通信规则，诱导出对更复杂生物体生存至关重要的群体运动. 在技术领域，在实现共同群体目标方面，智能体之间的有效沟通至关重要，这一挑战涵盖了各种应用，如控制无人驾驶飞机和协调卫星导航. 社会科学也提供了大量群体行为的例子，包括意见动态、共识形成过程、社会网络、经济互动等. 生物群体在宏观上呈现出的群体行为通常可以总结为以下三种. （1）蜂拥——群体内部保持凝聚力，但是不一定出现对齐的现象，也就是说，群体中任意两个个体间的相对位置有界，但速度不要求实现一致. （2）群集行为——在实现蜂拥的基础上，群体中每个个体间的速度要求对齐，也就是说，群体中任意两个个体间既要实现相对位置有界，又要实现速度趋同. （3）一致性——群体中任意两个个体间的速度和位置都趋于一致. 随着微分方程新方法的引入，与群体运动相关的数学模型的分析已成为应用数学中最活跃的领域之一. 本书以 Cucker-Smale 模型为例，介绍上述群体行为的基本数学理论. 本书分为两部分：第一部分聚焦 Cucker-Smale 模型的群集行为，第二部分研究 Cucker-Smale 模型的一致性. 第一部分有 6 章：群体行为简介、短程通信权重下的 Cucker-Smale 模型、Cucker-Smale 模型的非群集行为、混合 Cucker-Smale 模型、时滞 Cucker-Smale 模型、具有 Riesz 位势的 Cucker-Smale模型. 第二部分有 5 章：具有幂律势的 Cucker-Smale 模型、具有高次幂律势的Cucker-Smale 模型、具有拟二次势的 Cucker-Smale 模型、具有幂律势与反应时滞的 Cucker-Smale 模型、具有非线性速度耦合和幂律势的 Cucker-Smale 模型. 书中的绝大部分章节仅以常微分方程理论为基础，本书可作为应用数学、运筹学与控制论专业高年级本科生和研究生的教材. 考虑到大学生数学建模竞赛已经普及，研究生数学建模竞赛也已全面开展，书中适当提供了数值模拟的若干例子，以供教师和学生参考.展开作者简介
陈自力，副教授，南昌大学数学与计算机学院硕导，博士毕业于华中科技大学概率论与数理统计专业，主要研究与物理、生物相关的多粒子数学模型，包含常微分方程模型和偏微分方程模型。以第一作者或通讯作者身份发表SCI论文十余篇，主持国家自然科学基金项目4项，主持江西省自然科学基金项目4项。国家精品在线开放课程《高等数学（一）》主讲人之一，指导学生获大学生数学竞赛全国三等奖1项、省一等奖4项。 -
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