无模块 1  函数及其应用	1
 教学导航	1
 价值引导	1
 引例导入	2
【引导实例 1-1】计算网上购书金额	2
【引导实例 1-2】计算正方形的面积	2
 概念认知	2
【概念 1-1】常量与变量	2
【概念 1-2】集合	3
【概念 1-3】函数	5
 知识疏理	6
【知识 1-1】函数的三要素	6
【知识 1-2】函数的表示方法	7
【知识 1-3】函数的性质	8
【知识 1-4】基本初等函数	10
【知识 1-5】复合函数	13
【知识 1-6】初等函数	13
【知识 1-7】分段函数	13
【知识 1-8】反函数	14
 问题解惑	15
【问题 1-1】如何判断两个函数是否相同？	15
【问题 1-2】任何两个函数都可以复合成一个函数吗？	15
【问题 1-3】分段函数是否一定为初等函数？	16
【问题 1-4】单值函数和多值函数都有反函数吗？	16
 方法探析	16
【方法 1-1】求函数定义域的方法	16
【方法 1-2】求函数值的方法	18
【方法 1-3】将基本初等函数组合为复合函数的方法	19
【方法 1-4】分解复合函数为基本初等函数的方法	19
【方法 1-5】求反函数的方法	20
 自主训练	20
 应用求解	21
【日常应用】	21
【应用实例 1-1】使用函数解析式表示自由落体运动方程	21
【经济应用】	22
【应用实例 1-2】使用函数解析式描述常见的经济函数	22
【应用实例 1-3】建立酒店总利润与房间定价之间的函数关系	24
【电类应用】	24
【应用实例 1-4】使用函数描述电路中电流 I 与电阻 R 之间的关系	24
【机类应用】	25
【应用实例 1-5】使用函数解析式描述曲柄连杆机构中滑块的运动规律	25
 应用拓展	25
 模块小结	26
 模块考核	28
模块 2  极限及其应用	29
 教学导航	29
 价值引导	30
 引例导入	30
【引导实例 2-1】探析庄子的无限分割思想	30
【引导实例 2-2】应用割圆术的方法求圆面积的近似值	31
 概念认知	32
【概念 2-1】数列的极限	32
【概念 2-2】函数的极限	34
 知识疏理	39
【知识 2-1】无穷小与无穷大	39
【知识 2-2】极限的运算	41
【知识 2-3】函数的连续性	45
 问题解惑	53
【问题 2-1】如果，则一定成立吗？	53
【问题 2-2】无限个无穷小的“和”一定是无穷小吗？	53
【问题 2-3】如何求有理分式函数的极限？	53
【问题 2-4】极限也等于 1 吗？	53
 方法探析	54
【方法 2-1】求函数极限的方法	54
【方法 2-2】判断函数的连续性与间断点的方法	58
【方法 2-3】判断方程在指定区间内是否存在根的方法	59
 自主训练	59
 应用求解	62
【日常应用】	62
【应用实例 2-1】应用求极限的方法求圆面积	62
【应用实例 2-2】探析影子长度的变化	63
【经济应用】	63
【应用实例 2-3】求解产品利润中的极限问题	63
【电类应用】	64
【应用实例 2-4】求 RC 串联电路中电压的极限值	64
【机类应用】	64
【应用实例 2-5】求渐开线齿廓的极限	64
 应用拓展	65
 模块小结	65
 模块考核	68
模块 3  导数及其应用	69
 教学导航	69
 价值引导	70
 引例导入	70
【引导实例 3-1】求变速直线运动的瞬时速度	70
【引导实例 3-2】求电路中的电流强度	71
【引导实例 3-3】求平面曲线的切线斜率	71
 概念认知	72
 知识疏理	74
【知识 3-1】导数的几何意义	74
【知识 3-2】函数可导性与连续性的关系	75
【知识 3-3】应用导数的定义求基本初等函数的导数	76
【知识 3-4】基本初等函数的求导公式	76
【知识 3-5】导数的四则运算法则	77
【知识 3-6】复合函数的求导法则（链式法则）	78
【知识 3-7】反函数的求导法则	80
【知识 3-8】隐函数的求导法则	80
【知识 3-9】对数求导法	81
【知识 3-10】由参数方程所确定函数的求导法则	81
【知识 3-11】高阶导数	82
【知识 3-12】中值定理	84
【知识 3-13】洛必达法则及其在求极限中的应用	87
【知识 3-14】函数单调性的判定	90
【知识 3-15】函数极值及求解	92
【知识 3-16】函数最值及求解	94
【知识 3-17】曲线的凹凸性与拐点及求解	95
【知识 3-18】曲线的渐近线及求解	97
 问题解惑	98
【问题 3-1】函数在点处的导数是否可写成？	98
【问题 3-2】若在点处可导，是否为？	98
【问题 3-3】对于复合函数，与有何区别？	99
【问题 3-4】如果函数在一点连续，则在该点也一定可导吗？	99
【问题 3-5】罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理之间有什么
联系？	99
【问题 3-6】导数值为零的点一定是单调区间的“分界点”吗？	99
【问题 3-7】函数的驻点一定是极值点吗？	99
【问题 3-8】二阶导数为零或二阶导数不存在的点一定是拐点吗？	99
 方法探析	100
【方法 3-1】求曲线切线方程与法线方程的方法	100
【方法 3-2】探析函数连续性与可导性的方法	100
【方法 3-3】求函数导数的方法	101
【方法 3-4】应用洛必达法则求函数极限的方法	107
【方法 3-5】求函数的单调区间并判断各区间单调性的方法	109
【方法 3-6】求函数极值的方法	110
【方法 3-7】求函数的最大值或最小值的方法	111
【方法 3-8】求函数的凹凸区间和拐点的方法	111
 自主训练	113
 应用求解	116
【日常应用】	116
【应用实例 3-1】求物体直线运动的速度与加速度	116
【应用实例 3-2】求圆柱形容器表面积最小时的底面半径	116
【经济应用】	117
【应用实例 3-3】求边际成本和最大利润	117
【应用实例 3-4】求边际收入和边际利润	118
【应用实例 3-5】求费用最低的运输路线	119
【电类应用】	119
【应用实例 3-6】求电路中的电流	119
【应用实例 3-7】求电容器的充电速度	120
【机类应用】	120
【应用实例 3-8】求简谐运动的速度与加速度	120
【应用实例 3-9】求冰箱内温度关于时间的变化率	121
 应用拓展	122
 模块小结	122
 模块考核	125
模块 4  一元函数微分及其应用	126
 教学导航	126
 价值引导	126
 引例导入	127
【引导实例4-1】探析金属薄片受热变形时面积的改变量	127
【引导实例4-2】探析机械挂钟因热胀冷缩产生的钟表误差	127
 概念认知	128
【概念 4-1】微分的表述形式	128
【概念 4-2】微分的定义	129
知识疏理	129
【知识 4-1】微分的几何意义	129
【知识 4-2】微分与导数的关系	130
【知识 4-3】基本初等函数的微分公式与微分运算法则	130
【知识 4-4】微分在近似计算中的应用	132
 问题解惑	133
【问题 4-1】符号既表示导数的记号，也表示微分 dy 与 dx 之比？	133
【问题 4-2】可导函数一定可微，可微函数也一定可导吗？	134
【问题 4-3】微分形式具有不变性	134
 方法探析	134
【方法 4-1】求函数微分的方法	134
【方法 4-2】计算近似值的方法	135
 自主训练	135
 应用求解	136
【日常应用】	136
【应用实例 4-1】求金属正方体受热后体积的改变量	136
【经济应用】	137
【应用实例 4-2】估算产品收入增加量的近似值	137
【电类应用】	137
【应用实例 4-3】求电路中负载功率改变时其两端电压的改变量	137
【机类应用】	138
【应用实例 4-4】求机械摆钟因热胀冷缩产生的钟表误差	138
 应用拓展	138
 模块小结	139
 模块考核	140
模块 5　二元函数微分及其应用	141
 教学导航	141
 价值引导	141
 引例导入	142
【引导实例 5-1】计算圆锥体的体积	142
【引导实例 5-2】计算产品的收入	142
【引导实例 5-3】计算并联电路的总电阻	142
 概念认知	143
【概念 5-1】二元函数	143
【概念 5-2】偏导数	145
【概念 5-3】全微分	147
 知识疏理	148
【知识 5-1】二元函数的极限	148
【知识 5-2】二元函数的连续性	150
【知识 5-3】偏导数的计算	152
【知识 5-4】高阶偏导数	152
【知识 5-5】二元函数的极值	153
【知识 5-6】二元函数的最大值与最小值	154
【知识 5-7】条件极值与拉格朗日乘数法	155
 问题解惑	156
【问题 5-1】多元函数的偏导数存在能否保证函数在该点处连续？	156
【问题 5-2】在二阶混合偏导数连续的条件下与求偏导数次序无关	156
【问题 5-3】若二元函数在点处两个一阶偏导数都存在且连续，则该函数在这一点处一定可微吗？	156
 方法探析	157
【方法 5-1】求二元函数定义域的方法	157
【方法 5-2】求二元函数一阶偏导数的方法	157
【方法 5-3】求二元函数二阶偏导数的方法	158
【方法 5-4】求二元函数全微分的方法	159
【方法 5-5】求二元函数极值的方法	159
 自主训练	160
 应用求解	161
【日常应用】	161
【应用实例 5-1】估计圆柱体体积的改变量	161
【经济应用】	161
【应用实例 5-2】求两种产品的最大利润及相应的产量	161
【应用实例 5-3】求最优广告策略	162
【电类应用】	163
【应用实例 5-4】估算并联电路中总电阻的计算误差	163
【机类应用】	164
【应用实例 5-5】求梯形水槽的最大面积	164
 应用拓展	165
 模块小结	165
 模块考核	166
模块 6  不定积分及其应用	168
 教学导航	168
 价值引导	168
 引例导入	169
【引导实例 6-1】根据自由落体物体的运动速率函数求其运动规律	169
【引导实例 6-2】根据产品的边际成本函数求其成本函数	169
【引导实例 6-3】根据曲线切线斜率函数求曲线方程	169
 概念认知	170
【概念 6-1】原函数	170
【概念 6-2】不定积分	171
 知识疏理	172
【知识 6-1】不定积分的几何意义	172
【知识 6-2】不定积分的性质	172
【知识 6-3】不定积分的基本公式与直接积分法	173
【知识 6-4】不定积分的基本运算法则	174
【知识 6-5】不定积分的换元积分法	175
【知识 6-6】不定积分的分部积分法	180
【知识 6-7】有理函数及可化为有理函数的不定积分	181
 问题解惑	184
【问题 6-1】函数的一个原函数就是该函数的不定积分吗？	184
【问题 6-2】初等函数在其定义区间上都可积分吗？	184
【问题 6-3】“微分运算”和“积分运算”互为逆运算吗？	184
【问题 6-4】第一类换元法与分部积分法的共同点是什么？	184
【问题 6-5】不定积分=是否正确？	184
【问题 6-6】不定积分=-cosx+C 是否正确？	185
 方法探析	185
【方法 6-1】求不定积分的方法	185
【方法 6-2】求简单有理函数不定积分的方法	191
【方法 6-3】求简单无理函数不定积分的方法	192
【方法 6-4】求被积函数中包含三角函数不定积分的方法	193
 自主训练	194
 应用求解	196
【日常应用】	196
【应用实例 6-1】求自由落体运动的速度方程和运动方程	196
【经济应用】	196
【应用实例 6-2】根据产品的边际成本求总成本与产量的函数关系	196
【电类应用】	197
【应用实例 6-3】求电路中电流关于时间的函数	197
【应用实例 6-4】求电路中电容上的电量关于时间的函数	197
【机类应用】	198
【应用实例 6-5】求曲柄连杆机构中滑块的运动方程	198
 应用拓展	198
 模块小结	199
 模块考核	201
模块 7  定积分及其应用	202
 教学导航	202
 价值引导	202
 引例导入	203
【引导实例 7-1】计算曲边梯形的面积	203
【引导实例 7-2】求变速直线运动的路程	205
【引导实例 7-3】计算变力所作的功	206
 概念认知	206
【概念 7-1】定积分	206
【概念 7-2】无穷区间广义积分	208
 知识疏理	208
【知识 7-1】定积分的几何意义	208
【知识 7-2】定积分存在定理	210
【知识 7-3】定积分的基本性质	210
【知识 7-4】微积分基本公式	212
【知识 7-5】定积分的换元积分法	214
【知识 7-6】定积分的分部积分法	217
【知识 7-7】广义积分	217
 问题解惑	220
【问题 7-1】定积分中积分变量的字母可以取任意英文字母吗？	220
【问题 7-2】定积分是不定积分在指定区间上的增量吗？	221
【问题 7-3】积分上限函数(x)是连续函数 f(x)的一个原函数吗？	221
【问题 7-4】不定积分的第二类换元法与定积分的换元法有没有区别？	221
 方法探析	221
【方法 7-1】利用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分的方法	221
【方法 7-2】利用定积分的换元积分法计算定积分的方法	222
【方法 7-3】利用定积分的分部积分法计算定积分的方法	222
【方法 7-4】利用广义积分方法计算定积分的方法	223
【方法 7-5】定积分的微元法	224
 自主训练	226
 应用求解	230
【日常应用】	230
【应用实例 7-1】计算平面图形的面积	230
【应用实例 7-2】计算旋转体的体积	230
【经济应用】	232
【应用实例 7-3】根据边际成本求总成本的增量	232
【应用实例 7-4】根据边际收入求总收入和平均收入	232
【应用实例 7-5】求利润增量及最大利润	233
【应用实例 7-6】计算平均销售量	233
【电类应用】	234
【应用实例 7-7】求电容器上的电压	234
【应用实例 7-8】求交流电的平均功率和有效值	234
【机类应用】	236
【应用实例 7-9】求变力所做作的功	236
【应用实例 7-10】计算发射火箭的最小初速度	237
 应用拓展	238
 模块小结	238
 模块考核	241
模块 8  微分方程及其应用	242
 教学导航	242
 价值引导	242
 引例导入	243
【引导实例 8-1】求曲线方程	243
【引导实例 8-2】求列车制动时的行驶路程	243
 概念认知	244
【概念 8-1】微分方程	244
【概念 8-2】微分方程的阶	245
【概念 8-3】微分方程的解与通解	245
【概念 8-4】微分方程的初始条件与特解	245
【概念 8-5】解微分方程	246
【概念 8-6】积分曲线与积分曲线簇	246
【概念 8-7】验证微分方程的解	247
 知识疏理	247
【知识 8-1】可分离变量的一阶微分方程及求解方法	247
【知识 8-2】一阶线性微分方程及求解	248
【知识 8-3】可降阶的高阶微分方程及求解	250
【知识 8-4】二阶线性微分方程及求解	252
 问题解惑	253
【问题 8-1】微分方程中必须含有未知函数的导数(或微分)吗？	253
【问题 8-2】微分方程的阶是指微分方程中自变量的最高次数吗？	253
【问题 8-3】微分方程的解中含有任意常数就一定是其通解吗？	253
【问题 8-4】微分方程是一阶线性齐次微分方程吗？	253
 方法探析	254
【方法 8-1】求解可分离变量微分方程的方法	254
【方法 8-2】求解一阶线性齐次微分方程的方法	255
【方法 8-3】求解一阶线性非齐次微分方程的方法	256
【方法 8-4】求解可降阶的高阶微分方程的方法	258
【方法 8-5】求解二阶常系数线性齐次微分方程的方法	258
 自主训练	259
 应用求解	261
【日常应用】	261
【应用实例 8-1】求曲线方程	261
【应用实例 8-2】求降落伞下落速度与时间的函数关系	262
【经济应用】	263
【应用实例 8-3】求国民生产总值	263
【应用实例 8-4】根据边际成本函数求解成本函数	264
【应用实例 8-5】求公司产品的纯利润L与广告费x之间的函数关系	264
【电类应用】	265
【应用实例 8-6】求 RC 电路中电压随时间 t 变化的规律	265
【应用实例 8-7】求 RL 电路中电流 i 和时间 t 的函数关系	266
【应用实例 8-8】求 RLC 电路中电流的微分方程	267
【机类应用】	268
【应用实例 8-9】试求物体的自由振动方程	268
 应用拓展	269
 模块小结	270
 模块考核	270
模块 9  级数及其应用	272
 教学导航	272
 价值引导	272
 引例导入	273
【引导实例 9-1】探析一尺之棰，日取其半之和	273
【引导实例 9-2】探析弹球运动的总路程	273
 概念认知	273
【概念 9-1】常数项级数及其收敛性	273
【概念 9-2】函数项级数及其敛散性	273
知识疏理	273
【知识 9-1】常数项级数及其审敛法	273
【知识 9-2】幂级数及其收敛性	273
【知识 9-3】函数展开成幂级数	273
 问题解惑	273
【问题 9-1】收敛级数去括号之后所得到的级数一定为收敛级数吗？	274
【问题 9-2】级数的通项的极限为零则该级数一定收敛吗？	274
【问题 9-3】设两个级数与，若有，则它们具有相同的收敛性吗？	274
【问题 9-4】交错级数满足莱布尼茨定理中的条件时一定收敛，若它不满足条件，那么是否一定发散呢？	274
 方法探析	274
【方法 9-1】利用级数的收敛定义判断其收敛性的方法	274
【方法 9-2】利用级数的基本性质判断其收敛性的方法	274
【方法 9-3】利用正项级数审敛法判断级数收敛性的方法	274
【方法 9-4】求幂级数收敛域的方法	274
【方法 9-5】将函数  f(x)展开为幂级数的方法	274
【方法 9-6】将函数  f(x)展开为傅里叶级数的方法	274
 自主训练	274
 应用求解	274
【日常应用】	275
【应用实例 9-1】计算e的近似值	275
【经济应用】	275
【应用实例 9-2】求增加投资带来的消费总增长量	275
【应用实例 9-3】计算等额分付终值	275
【电类应用】	275
【应用实例 9-4】将锯齿脉冲信号函数展开为傅里叶级数	275
【机类应用】	275
【应用实例 9-5】计算定积分的近似值	275
 应用拓展	275
 模块小结	275
 模块考核	275
附录A  实例过关情况统计	277
附录 B  三角函数公式	278
参考文献	279